پایان نامه با موضوع روش آمیخته

دانلود پایان نامه

[30].
با این توضیحات می توان معادله X ها را ساده کرد که در زیر آمده است.

(3-44)

(3-45)

(3-46)

(3-47)

در این مرحله چهار معادله ی نهایی را باید همزمان حل نماییم. فرم زیر را برای معادلات بالا می سازیم.
(3-48)

(3-49)

(3-50)

(3-51)

و ماتریس مشتقات (J) را هم بدست می آوریم.
(3-52)

(3-53)

(3-54)

(3-55)

(3-56)

(3-57)

(3-58)

(3-59)

(3-60)

(3-61)

(3-62)

(3-63)

(3-64)

(3-65)

(3-66)

(3-67)

برای حل معادلات این قسمت، حدس اولیه ی نیم (5/0) را برای چهار متغیر اختیار می کنیم. بعد از آن با کمک معادلات 3-44 تا 3-46 حدس اولیه را تصحیح می نماییم. آنگاه از روش نیوتن به شکل زیر استفاده کرده و حدس جدید را بدست می آوریم. این الگو را به تعدادی تکرار می نماییم که همگرایی حاصل شود.
(3-68)

فلوچارت زیر نیز گویای الگوریتم محاسبه ی X ها است.

شکل3-3- فلوچارت مربوط به محاسبه ی X ها

تنها موردی که در محاسبات رفتار فازی این قسمت باقی مانده است، محاسبه ی مشتقات فشار، غلظت از چگالی و ضریب فوگاسیته بر حسب فشار و غلظت می باشد. برای این قسمت رابطه ی صریحی حاصل نشد. بنابراین آن را از روش مشتق عددی پیشرو18 بدست آوردیم. که در زیر آمده است.
(3-69)

(3-70)

(3-71)

(3-72)

در اینجا بررسی رفتار فازی به پایان رسید. در بخش بعد به بیان روشی برای حل معادلات دیفرانسیل پرداخته می شود.

3-5- حل معادلات با روش عددی کولوکیشن19 [31]

این روش یکی از انواع روش حل باقیمانده ی وزنی20 است. روش باقیمانده ی وزنی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی می باشد. ایده ی لازم در این روش بر پایه ی یک جواب تقریبی ya است که با جای گذاری در معادله ی دیفرانسیل و شرایط مرزی احتمالا مقداری غیر صفر می دهد.
(3-73)

(3-74)

(3-75)

که R و Rb مقادیر باقیمانده هستند. حال اگر مقدار R برابر صفر باشد به روش انجام شده روش مرزی21 گفته می شود و اگر مقدار Rb صفر شود روش انجام شده روش داخلی22 است و در صورت صفر نشدن هر کدام آن ها روش آمیخته23نامیده می شود.
جواب تقریبی برای معادله ی 3-74 به صورت یک چند جمله ای است که در زیر آورده شده است:
(3-76)

که در معادله ی فوق iφ تابع خطا24 است که باعث می شود جواب معادله ی دیفرانسیل در شرایط مرزی صدق کند.
مقادیر باقیمانده تابع x است که باید مینیمم شود. برای این کار باید آنرا روی کل دامنه ی x مینیمم کرد که از روش انتگرالی زیر استفاده می گردد.
(3-77)

کهwk(x) تابع آزمون25 است که با انتخاب درست آن در بهینه کردن انتگرال فوق مؤثر است که با تغییر نوع تابع آزمون روش حل باقیمانده ی وزنی عوض می شود. حال روش کولوکیشن یکی از روش هاست که تابع آزمون آن به صورت زیر تعریف می شود.
(3-78)

که تابع آزمون دلتای دیراک(δ) است که در N نقطه ی داخلی (نقاط کولوکیشن) تعریف می شود. که xk، k امین نقطه ی کولوکیشن است.
حال اگر از ریشه های چند جمله ای ژاکوبی26 برای بدست آوردن نقاط کولوکیشن استفاده کنیم، به روش استفاده شده، کولوکیشن متعامد27گفته می شود. فرم معادله ی ژاکوبی به صورت زیر است:
(3-79)

(3-80)

در روش کولوکیشن متعامد برای درون یابی بین نقاط کولوکیشن از چند جمله ای لاگرانژ28به صورت زیر استفاده می شود:
(3-81)

حال اگر بخواهیم از این چند جمله ای در معادله ی دیفرانسیل استفاده نماییم نیاز به مشتق اول و دوم داریم که به صورت زیر بدست می آیند.
(3-82)

(3-83)

حال با نشان دادن yNبه صورت بردار، مشتق های اول و دوم به صورت زیر بدست می آیند:
(3-84)

(3-85)

(3-86)

(3-87)

اگر و رابه این صورت در معادله ی دیفرانسیل وارد کنیم. معادله ی دیفرانسیل معمولی به دسته ای از معادلات جبری و معادله ی دیفرانسیل پاره ای به معادله ی دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود.

3-6-تست کاهش شار در حجم ثابت29

سیال گاز میعانی معمولا با کمک فلش کردن آن در فشار محیط و اندازه گیری غلظت های دو فاز پایدار گاز و مایع ایجاد شده آنالیز می شود. جز سنگین هر کدام از دو فاز مورد بررسی قرار می گیرد تا اجزای اصلی سازنده ی آن معلوم شود و گاهی هم به صورت یک سری برش نفتی تجزیه و تحلیل می شود. چرا که مدل های رفتار فازی به این جزء سنگین انتهایی حساسیت بالایی دارد.
یکی از تست های مرسوم که در دمای مخزن صورت می پذیرد تست کاهش فشار در حجم ثابت است. معمولا فرض می شود که میعاناتی در حفره ها تولید می شوند بی حرکت می مانند، بنابراین فرآیند کاهش فشار در مخزن گاز میعانی با تست CVD مدل می شود. این تست شامل یک سری انبساط همراه با تخلیه ی گاز اضافی در فشار ثابت است. این کار به گونه ای صورت می پذیرد که در انتهای در مرحله حجم ظرف ثابت بماند. این تست در تصویر زیر نشان داده شده است. گاز اضافی در هر مرحله ی فشاری جمع آوری می شود و غلظت ها، حجم و ضریب انحراف از گاز ایده آل آن مشخص می گردد. حجم میعانات گازی هم اندازه گرفته می شود. تا قبل از نقطه ی شبنم، تست می تواند مثل یک انبساط در غلظت ثابت پیش برود و ضریب انحراف محاسبه شود. حجم ظرف در نقطه ی شبنم به عنوان حجم مبنا برای ادامه ی تست در نظر گرفته می شود.در زیر شماتیکی از تست CVD آورده شده است.

شکل3-4- شماتیکی از تست CVD [24]

همچنین جهت آشنایی با تست CVD الگوریتم عملکرد آن در زیر آورده شده است.

شکل3-5- نمونه ی ساده ای از
الگوریتم فرآیند CVD

3-7- فرآیند حل معادلات مخزن با کمک روش ریاضی کولوکیشن

3-7-1- تحلیل روش عددی کولوکیشن برای سیستم های تک فازی در مختصات استوانه ای در جهت محوری
برای حل معادلات مخزن باید فرم ساده شده ی آن ملاحظه شود:

معادله ی موازنه ی مولی کلی (3-88)

معادلات موازنه ی مولی جزئی (3-89)

شرایط مرزی(3-90)

شرط اولیه(3-91)

این معادلات ریاضی برای هندسه ی زیر می باشد.

لازم است که این معادلات را به تمام مجهول هایی که دنبال می کنیم ربط دهیم. این مجهول ها در این قسمت شامل فشار و غلظت اجزا در فاز گازی است ( اشباع گاز یک است یا مقدار ثابتی دارد.) .
همان طوری که در مساله مشاهده می کنید معادله نسبت به فشار مرتبه ی دو و نسبت به چگالی و گرانروی از مرتبه یک است که هر دوی این متغیر ها تابعیت غیر خطی نسبت به متغیر های خواسته شده دارند. در نگاه اول به نظر می رسد که باید قسمت دوم معادله را بسط دهیم و به مجموع چند مشتق مرتبه ی اول و دوم تبدیل کنیم و بعد فرم تکه تکه شده30ی روش کولوکیشن را بر آن اعمال نماییم. اما نگاه دقیق تر نشان داد که این بسط کار را در ادامه پیچیده می کند و محاسبه ی مشتق ها به تقریب زنی منجر می شود. لذا از این کار صرف نظر شد.
برای اینکه از ترم های چگالی و گرانروی مشتق نگیریم، راه حل دیگری هم وجود دارد و آن هم انتگرال گیری نسبت به طول مغزه می باشد.
در این قسمت باید بعد مکانی بین صفر و یک قرار بگیرد. برای این تبدیل متغیر تنها نوع خطی را استفاده می کنیم.
(3-92)

(3-93)

در مرحله ی بعد روش انتگرالی را هم بر معادلات پیاده می نماییم و معادله ی موازنه ی مولی جزئی را بر کلی تقسیم می نماییم تا دسته معادلات مناسب نهایی بدست آید. در ادامه روند کار ریاضی را ببینید.
(3-94)

(3-95)

(3-96)

(3-97)

(3-98)

(3-99)

(3-100)

برای معادله ی موازنه ی مولی جزئی نیز به فرم زیر دست خواهیم یافت
(3-101)

(3-102)

(3-103)

معادلات نهایی مورد استفاده در این قسمت به فرم زیر خواهد بود.
(3-104)

(3-105)

(3-106)

در این قسمت چون شرط مرزی برای خود فشار وجود دارد، نیازی به مجهول گرفتن فشار انتها نیست و چون یک بار انتگرال گرفته ایم، از شرط مرزی ورودی استفاده نمی گردد.
محاسبه ی مشتقات جزئی و ادامه ی مسیر استفاده از روش نیوتن – رافسون برای حل معادلات به صورت زیر است.

(3-107)

(3-108)

(3-109)

(3-110)

(3-111)

(3-112)

(3-113)

محاسبه ی مشتقات جزئی برای توابع F و fi در زیر آمده است.
(3-114)

(3-115)

(3-116)

(3-117)

(3-118)

دیگر مشتق های جزئی لازم بر اساس معادله ی حالت انتخابی قابل محاسبه اند. برای معادله ی حالت SRK در بخش معادله ی حالت آمده است.
اکنون که تمام معادلات لازم بدست آمد نوبت تکمیل حل آنها با استفاده از روش معروف نیوتن- رافسون31 است.
فرم حدس و خطایی برای این دستگاه معادلات به صورت زیر خواهد بود.
(3-119)

(3-120)

(3-121)

(3-122)

این دستگاه معادلات مقدار تغییرات پارامتر های سیستم را در هر مرحله ی حدس نشان می دهد.
در نهایت دستور خاتمه ی حلقه لازم است که به صورت تابع خطای زیر تعریف گردیده است.
(3-123)

برای اینکه خطا بدون بعد باشد، فشار را هم بدون بعد می کنیم. با این کار لازم است که مشتقات نسبت به فشار را کمی تغییر دهیم.
(3-124)

با در نظر گرفتن ∆t مناسب می توان به نتایج مطلوب دست یافت.
3-7-2- تحلیل روش عددی کولوکیشن برای سیستم های دو فازی امتزاج ناپذیر پایا در مختصات استوانه ای در جهت محوری
در این مدل لازم است تنها دو معادله ی موازنه ی مولی کلی نوشته شود و فرض شود که که تمام خواص فیزیکی مواد ثابت باشد به جز چگالی گاز که از رابطه ی گاز ایده آل تبعیت می کند.معادلات حاکم به قرار زیر است:
معادله ی موازنه ی مولی کلی برای فاز گاز (3-125)

معادله ی موازنه ی مولی کلی برای فاز مایع (3-126)

که در رابطه ی بالا می باشد.برای ساده شدن حل معادلات بالا را بر هم تقسیم نموده، با این کار معادله ی دیفرانسیل به یک معادله ی جبری تبدیل شده که به شکل زیر است:
(3-127)

(3-128)

در این مرحله به کمک روش OC معادله ی دیفرانسیل 3-126 را به یک معادله ی جبری تبدیل می کنیم و تعداد معادله ی حاصل را با روش عددی نیوتن حل می کنیم. مجهول های این معادلات Pi و است. در معادله مستقیم ظاهر نمی شود بلکه درون ترم های Kg و Kl خود را نشان می دهند.
معادلات مورد استفاده برای تراوایی موثر در این پژوهش معادلات ساده ی کوری32 است. که به صورت زیر است.
(3-129)

با استفاده از تغییر متغیر مناسب، دو ترم فشار و مکان را بی بعد می کنیم و با جایگذاری در معادله ی 3-126 با معادله ی زیر می رسیم:

(3-130)

(3-131)
با اعمال روش کولوکیشن بر روی معادله ی بالا معادله ی تکه تکه شده را بدست می آوریم که به فرم زیر در می آید.
(3-132)

در قسمت حل برای روش نیوتن ابتدا معادلات باید به فرم F=0 درآیند. پس با این حساب معادلات ما در این قسمت به صورت زیر است:

(3-133)

شرایط مرزی(3-134)

(3-135)

در ادامه لازم است که ماتریس مشتقات را هم بدست آوریم:

(3-136)

(3-137)
(3-138)

(3-139)

(3-140)

(3-141)

(3-142)

(3-143)

با حدس اولیه ی P (yi=1) و Sli برابر با 5/0 مسئله را به کمک روش نیوتن حل می کنیم.

3-7-3- تحلیل روش عددی کولوکیشن برای سیستم های دو فازی گاز میعانی در مختصات استوانه ای در جهت محوری
در این قسمت با جزئیات سیستم دو فازی در مختصات استوانه ای در جهت محوری آشنا می شوید.
معادله ی موازنه ی مولی کلی
(3-144)

معادله ی موازنه ی مولی جزئی (3-145)

معادلات تعادلی(3-146)

معادلات تعادلی(3-147)

شرط مرزی(3-148)

شرط مرزی(3-149)

شرط اولیه(3-150)
در قسمت معادلات تعادلی، همزمان شرط یک بودن جمع کسر مولی ها لحاظ گردیده است. به همین دلیل چه برای فاز گاز و چه برای فاز مایع کسر مولی ماده ی آخر از مجهولات حذف گردیده است.
در این بخش علاوه بر فشار و غلظت ها، اشباع فاز مایع هم اضافه گردیده است. این پارامتر خود را مستقیما در معادله ی تراوایی موثر33دو فاز نشان می دهد. معادلات مورد استفاده برای تراوایی موثر در این قسمت نیز معادلات ساده ی کوری34 است. که در قسمت قبل تعریف شده اند.
(3-151)

(3-152)

مرحله ی اول حل این معادلات بدون بعد سازی متغیر ها و پارامتر های وابسته است.
(3-153)

(3-154)

در مرحله ی دوم از معادلات موازنه ی مولی انتگرال می گیریم و با اعمال شرط مرزی مشتقی معادلات را برای تکه تکه سازی آماده می نماییم.
معادله ی موازنه ی مولی کلی:

(3-155)

(3-156)

(3-157)

(3-158)

حال اگر تابع درون انتگرال را F بنامیم و به مانند گذشته عمل کنیم معادله بعد از تکه تکه شدن به صورت زیر خواهد بود.
(3-159)

برای معادله ی موازنه ی مولی جزئی نیز با تعریف fi به صورت زیر
(3-160)

معادله بعد از تکه تکه شدن چنین خواهد بود.

(3-161)

دوباره از نسبت دو معادله بجای معادله ی موازنه ی مولی جزئی استفاده می نماییم.

(3-162)

(3-163)

به طور خلاصه مجموعه ی معادلات جبری حاصل چنین خواهند بود

(3-164)

(3-165)

(3-166)

(3-167)

معادلات کمکی که در کنار این معادلات جبری لازم است، به صورت زیر می باشند.
معادله ی تراوایی موثر (3-168)

(3-169)

(3-170)

معادله ی محاسبه ی چگالی (3-171)

(3-172)

(3-173)

(3-174)

(3-175)

(3-176)

برای محاسبه ی گرانروی بدون وجود حلال از روش وضعیت های همسان برای گرانروی35 با تصحیح پدرسن و همکاران (1984) [32] استفاده شده است که جزء مولی اجزا در هر فاز و دما و فشاراست و با وجود حلال از روش چانگ و همکاران (1988) [33] استفاده شده است که گرانروی در این حالت علاوه بر موارد قبل تابع مقدار دوقطبی لحظه ای و تعداد پیوند های هیدروژنی نیز است.
با معلوم شدن معادلات نهایی، نوبت به ساختن ماتریس مشتق ها (J) است

(3-177)

(3-178)

(3-179)

(3-180)

(3-181)

(3-182)

(3-183)

(3-184)

(3-185)

(3-186)

(3-187)

(3-188)

(3-189)

(3-190)

(3-191)

(3-192)

(3-193)

(3-194)

(3-195)

(3-196)

(3-197)

(3-198)

(3-199)

(3-200)

(3-201)

درایه های ماتریس مشتقات، خود تابعی از مشتقات جزئی دیگری هستند که لازم است برای تمامی آنها نیز معادله ای داشته باشیم.
(3-202)

(3-203)

(3-204)

(3-205)

(3-206)

(3-207)

(3-208)

(3-209)

(3-210)

(3-211)

(3-212)

(3-213)

در

این نوشته در پایان نامه ها و مقالات ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *